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【19软工二班】三重积分的计算原理

来自发布于：2020-04-30 23:47:29

1. 投影法

（1）先沿 $z$ 轴方向的竖线累积，再把 $D_{xy}$ 内所有竖线累积起来

记 $\Omega$ 的 $z$ 轴方向下半曲面为 $z=z_1(x,y)$ ，下半曲面为 $z=z_2(x,y)$

记 $\Omega$ 在 $xOy$ 面上的投影为 $D_{xy}$

如图，先累积竖直虚线段，即密度函数（被积函数）关于 $z$ 从固定值 $z_1(x_0,y_0)$ 累积到 $z_2(x_0,y_0)$ ，表示出来为：

$A(x_0,y_0) = \int_{z_1(x_0, y_0) }^{z_2(x_0,y_0)} f(x_0,y_0,z) \mathrm{d}z$

接着，要累积完整个 $\Omega$ , 还需要把 $D_{xy}$ 上每个这样的点 $(x_0,y_0)$ 都累积一遍。也就是说，对任意一点 $(x,y) \in D_{xy}$ ，都有累积的一条竖直虚线段：

$A(x,y) = \int_{z_1(x, y) }^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \mathrm{d}z$

把它们再累积起来得到整个物体的质量（三重积分）：

$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z) \mathrm{d} V = \iint\limits_{D_{xy}} A(x,y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$

代入前面的 $A(x,y)$ ，就得到

$\begin{align} \iiint\limits_\Omega f(x,y,z) \mathrm{d} V & = \iint\limits_{D_{xy}} \Big[ \int_{z_1(x, y) }^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \mathrm{d}z \Big] \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ （也记为）& = \iint\limits_{D_{xy}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \int_{z_1(x, y) }^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \mathrm{d}z \end{align}$

https://zhuanlan.zhihu.com/p/72994664

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