【解答】偏导数

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

定义

编辑

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x₀,y₀)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y₀而让 x 在 x₀ 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x₀+△x,y₀)-f(x₀,y₀)。如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x₀,y₀)处对 x 的偏导数，记作 f'_x(x₀,y₀)或函数 z=f(x,y) 在(x₀,y₀)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y₀看成常数后，一元函数z=f(x,y₀)在 x₀处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x₀，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x₀,y₀)处对 y 的偏导数。记作f'_y(x₀,y₀)。

求法

编辑当函数 z=f(x,y) 在 (x₀,y₀)的两个偏导数 f'_x(x₀,y₀) 与 f'_y(x₀,y₀)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x₀,y₀)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

几何意义

编辑表示固定面上一点的切线斜率。偏导数 f'_x(x₀,y₀) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'_y(x₀,y₀) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'_x(x,y) 与 f'_y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"_xx，f"_xy，f"_yx，f"_yy。注意：f"_xy与f"_yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。